Спустя 4 месяца мы возвращаемся к Вам с новыми интересными фактами, связывающими дифференциальную геометрию и механику. Последние 2 года я активно изучаю топологию, дифференциальную геометрию и современную механику, чтобы как можно больше в них разобраться и найти множество прекрасных связей между этими дисциплинами. Основной трудностью в изучении этих дисциплин является огромное дробление на различные, порой даже кажется, что не связанные темы. Но, все-таки, связь между этим многообразием теорий есть.
Главным достижением современной механики я бы назвал переход к «глобальности»: когда мы рассматриваем не все n дифференциальных уравнений нашей задачи, а изучаем общие законы, которые можно распространить на все конфигурационное многообразие. Это позволяет нам смотреть но то, как влияют топологические и геометрические свойства задачи на наличие первых интегралов, предельных циклов и на интегрируемость.
Исследование влиянии топологии механической задачи (топологи конфигурационного многообразия механической задачи, если говорить правильно) сильно зависит от того, какое многообразие мы имеем перед собой: некомпактное, компактное с краем или замкнутое, то есть компактное многообразие без края. Безусловно, есть еще негладкие многообразия, но эта тема слишком сложна, и я не имею достаточного уровня знаний и опыта, чтобы о ней говорить. Завершающий пост из серии образовательных материалов я хочу посвятить пошаговому анализу механических задач с точки зрения топологии, геометрии и механики, охватывающему все указанные выше случаи. А сейчас я хочу рассказать о теме, которая может быть на гладких многообразиях вне зависимости от их компактности – циклические интегралы.
Как вы знаете из Лагранжевой механики, координата называется циклической, если от нее не зависит лагранжиан задачи. Мы не рассматриваем случай наличия не потенциальных сил. Обнаружение циклической координаты позволяет нам почти сразу найти первый интеграл, связанный с этой координатой. Он называется циклическим интегралом и равен производной лагранжиана по скорости циклической координаты или, говоря в терминах гамильтоновой механики, равен сопряженному к циклической координате импульсу. Но, как можно заметить, не всегда можно выбрать обобщенные координаты так, чтобы можно было сразу увидеть по лагранжиану наличие циклических координат. Также в задаче могут возникнуть так называемые скрытые симметрии, которые обнаружить обычным взглядом не так уж и просто. Поэтому для обнаружения циклических интегралов стоит использовать производную Ли.
Производная Ли является расширением понятия производной по направлению на многообразия и векторные поля на них. Она показывает, как изменяется объект (функция, другое векторное поле или тензор) при движении вдоль заданного векторного поля. Поэтому условие для циклических координат запишется в следующем виде: производная Ли вдоль некоторого поля X от лагранжиана равна нулю. Отсюда мы можем найти векторное поле X, порожденное циклическими координатами. И да, таким образом мы находим не одну циклическую координату, а сразу все: пространство решений для векторного поля X будет иметь размерность, равную числу циклических интегралов. Но что же значит это условие с геометрической точки зрения?
Лагранжиан представляет с собой разницу между кинетической и потенциальной энергиями, а кинетическая энергия представляет собой половину от скалярного квадрата скорости точки. Производная Ли от кинетической энергии равна производной Ли от метрического тензора, задающего кинетическую энергию. Равенство нулю производной Ли от метрического тензора по векторному полю говорит нам о неизменности метрики при движении вдоль рассматриваемого векторного поля. То есть многообразие имеет «геометрическую симметрию»: его можно «подвигать» вдоль векторного поля, и оно не изменится. Такое векторное поле называется полем Киллинга. Но нам ведь нужно, чтобы еще и выполнялось условие для потенциальной энергии. А это значит, что и потенциальная энергия должна быть симметрична (неизменна) относительно поля Киллинга.
В приложении к этому посту вы найдете небольшую программу в Wolfram Mathematica, позволяющая находить циклические координаты с помощью рассказанного выше метода.
Узнать больше о геометрических объектах и их применении в механике вы можете из следующих источников:
- Математические методы классической механики, В.И. Арнольд
- Современная геометрия, Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко
- Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, В.В. Козлов
- Симплектическая геометрия, А.Т. Фоменко
- Введение в дифференциальную геометрию, В.И. Паньженский
Автор: Бакулин Данил Вадимович, магистрант 2 года обучения «Механика и математическое моделирование (Астронавтика и аэронавтика)»
Изображение: Freepik.com
